Solución de ecuaciones

Solución de ecuaciones

Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0. Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.

Pero nos estamos adelantando — empecemos con un ejemplo de una ecuación cuadrática y pensemos en cómo resolverla. La ecuación 5a2 + 15a = 0 es una ecuación cuadrática porque puede escribirse como 5a2 + 15a + 0 = 0, que es equivalente a la forma ax2 + bx + c = 0, con c = 0.

Problema

Resolver a en 5a2 + 15a = 0

5a2 + 15a = 0

El problema nos pide resolver a; empecemos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación

5(a2 + 3a) = 0

5 es factor común de 5a2 y 15a.

5a(a + 3) = 0

a es factor común un de a2 y 3a.

En este punto hemos factorizado completamente el lado izquierdo de la ecuación. Si sólo quisiéramos factorizar la expresión, podríamos parar aquí, pero recuerda que estamos resolviendo a de la ecuación.

Aquí es donde usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación. Ya que toda la expresión es igual a cero, sabemos que por lo menos uno de los términos, 5a o (a + 3), tiene que ser igual a cero. Vamos a continuar con la solución de este problema igualando cada término a cero y resolviendo las ecuaciones.

5a = 0 a + 3 = 0

Igualar cada factor a cero

5a/5=0/5       a + 3 – 3 = 0 – 3

a = 0 a = -3

Resolver la ecuación

a = 0 o a = -3

Resultan dos valores posibles de a: 0 y -3. (Estos valores también se llaman raíces de la ecuación.) Para comprobar nuestras respuestas, podemos sustituir ambos valores directamente en nuestra ecuación original y ver si obtenemos una expresión válida para cada una.

Comprobando a = 0	Comprobando a = -3
5a2 + 15a = 0	5a2 + 15a = 0
5(0)2 + 15(0) = 0	5(-3)2 + 15(-3) = 0
5(0) + 0 = 0	5(9) – 45 = 0
0 + 0 = 0	45 – 45 = 0
0 = 0	0 = 0

Sustituir estos valores en la ecuación original produce dos expresiones correctas, entonces sabemos que nuestros valores son correctos. Esta ecuación cuadrática, 5a2 + 15a = 0, tiene dos raíces: 0 y -3.

Podemos usar el Producto Cero de la Multiplicación para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factorizamos la expresión, y luego resolvemos cada una de las raíces.

Problema Resolver r.r2 – 5r + 6 = 0. r2 – 3r – 2r + 6 = 0 Expandir el término -5r usando dos coeficientes tales que su suma sea -5 y su producto sea 6. (r2 – 3r) – (2r – 6) = 0 Agrupar términos r(r – 3) – 2(r – 3) = 0 Sacar los factores comunes de cada grupo (r – 3)(r – 2) = 0 Usar la Propiedad Distributiva para sacar (r – 3) como un factor r – 3 = 0 r – 2 = 0 Usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para igualar cada factor a 0 r = 3 r = 2 Resolver la ecuación r = 3 o r = 2 Las raíces de la ecuación original son 3 o 2

La solución de esta ecuación es r = 2 o r = 3, ya que ambos valores de r resultarán en una expresión válida. (¿Escéptico? Sustituye r por los valores 2 y 3 en la ecuación original. Te esperamos.)

  

Aplicando la Propiedad Cero de la Multiplicación

Cuando usamos la Propiedad Cero de la Multiplicación para resolver una ecuación cuadrática, necesitamos asegurarnos que la ecuación este igualada a cero. Algunas veces esto requerirá de mover los términos para que quede 0 en un lado de la ecuación.

Como un ejemplo, piensa en la ecuación 12x2 + 11x + 2 = 7. Podríamos factorizar el trinomio del lado izquierdo de la ecuación tal como esta, pero nos quedaría la ecuación (4x + 1)(3x + 2) = 7. ¡Y es hasta aquí a donde podemos llegar! Esta nueva ecuación nos dice que los dos factores, (4x + 1) y (3x + 2), son iguales a 7 cuando son multiplicados. Igualar cada factor a 7 y luego resolver la ecuación tampoco nos ayuda; no estamos buscando los factores que son 7; sino los factores que, cuando se multiplican, son iguales a 7. Es decir, ¡no podemos usar la Propiedad Cero de la Multiplicación cuando no hay un cero en el otro lado de la ecuación!

¿Entonces cuál es la solución? Para tener un cero en un lado de la ecuación, debemos restar 7 de ambos lados. Esto significa que nuestra ecuación cuadrática de 12x2 + 11x + 2 = 7 se convierte 12x2 + 11x – 5 = 0. Podemos factorizar el trinomio en lado izquierdo y luego usar la Propiedad Cero de la Multiplicación para encontrar los valores de x.

El ejemplo siguiente muestra cómo resolver una ecuación cuadrática donde ningún lado es originalmente igual a cero. (Nota que la secuencia de factorización ha sido acortad

Problema 

Resolver b en 5b2 + 4 = -12b 

5b2 + 4 + 12b = -12b + 12b 

La ecuación original tiene

-12b a la derecha. Para hacer este lado igual a cero, sumar 12b a ambos lados 

5b2 + 12b + 4 = 0 

Combinar términos semejantes 

5b2 + 10b + 2b + 4 = 0 

Reescribir 12b para agrupar y factorizar fácilmente 

5b(b + 2) + 2(b + 2) = 0 

Usar la Propiedad Distributiva para sacar los factores comunes de los pares de términos 

(5b + 2)(b + 2) = 0 

Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor (b + 2). La cuadrática queda completamente factorizada 

5b + 2 = 0 

b=-2/5 

b + 2 = 0

b = -2

Aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación 

Algunas veces podemos factorizar ecuaciones cuadráticas que resultan así: 8(x + 3)(x + 2) = 0. Sabemos cómo aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación a los factores (x + 3) y (x + 2), pero ¿qué hacemos con el coeficiente 8? ¿Podemos aplicar la Propiedad Cero de la Multiplicación a un entero?

En esta situación tenemos 3 factores: 8, x + 3, y x + 2. La regla de la Propiedad Cero de la Multiplicación nos dice que si el producto de tres factores, 8(x + 3)(x + 2), va a ser igual a cero en el lado derecho de la ecuación, la única manera de que eso pueda pasar es si por lo menos uno de los tres factores en el lado izquierdo es 0. Entonces probemos cada uno de ellos:

El factor 8 nunca será igual a 0, entonces podemos simplemente ignorarlo como una de las posibilidades.

El factor x + 3 podría ser igual a cero, y lo es cuando x = -3 entonces lo es.

El factor x + 2 podría ser igual a cero, y lo es cuando x = -2 entonces lo es.

Entonces nuestras soluciones para la ecuación original son x = -3 o x = -2, el factor 8 no contribuye a una tercera solución.

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Presentación Power Point

Mapa Mental

Conclusión: Gracias a este proyecto pude estudiar y aprender un poco mas de lo que sabia, aclare mis dudas y ahora sera mas fácil las cosas porque con este proyecto puedo apoyarme para estudiar y trabajar en los ejercicios muy bien ya que el propósito de este proyecto es ayudarte y a apoyarte a saber mas del tema hablado,  pues si aprendí un poco mas sobre estadística no quiere decir que este tema ya me lose de memoria pero si algunas partes que lo integran y con forman este tema le doy las gracias a la maestra por este proyecto que creo que a muchos le servirá para repasar gracias por su atención.