Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es necesario cumplir con las siguientes condiciones:
- Tiene que tener 3 términos
- Tiene que tener 2 términos raíz cuadrada exacta
- Las 2 raíces obtenidas al multiplicarse por 2 nos debe dar el termino que no tiene raíz cuadrada exacta.
- Si es así entonces sera un trinomio cuadrado perfecto.
siempre al factorizar un Trinomio cuadrado perfecto obtenemos un binomio al cuadrado.
Ejemplo:
9a^2-6ab+b^2
EJEMPLO 1: (Términos positivos)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 x 3 2.3.x 6x Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 EJEMPLO 2: (Con el "1") x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 x 1 2.1.x 2x Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1. La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x. El resultado es (x + 1)2 EJEMPLO 3: (Con fracciones) x2 + 8/3 x + 16/9 = (x + 4/3)2 x 4/3 2. 4/3 . x 8/3 x La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3. | |
EJEMPLO 4: (Con un término negativo)
x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
x (-5) 2.(-5).x -10x
Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2.
EJEMPLO 5: (Desordenado)
x + x2 + 1/4 = (x + 1/2)2
x 1/2 2.x.1/2 x
No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.
EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x2)
9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2
3x 5
2.5.3x
30x
Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).
EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")
x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2
x3 5 2.x3.5 10x3
Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia).
EJEMPLO 8: (Con varias letras diferentes)
4x2 + 4xa3 + a6 = (2x + a3)2
2x a3 2.2x.a3 4xa3
En los dos términos que son "cuadrados" puede haber letras. Las dos deben ser "cuadrados", por supuesto. El término del medio también tendrá las 2 letras.
EJEMPLO 9: (Con números decimales)
0,09a6 + 1 - 0,6a3 = (0,3a3 - 1)2
0,3a3 (-1) 2.0,3a3.1 0,6a3
A los números decimales puedo pasarlos a fracción. O sino, sacarle la raíz cuadrada para saber de qué número son cuadrado. 0,09 es cuadrado de 0,3.
EJEMPLO 10: (La misma letra en los dos cuadrados)
25x6 + 10 x5 + x4 = (5x3 + x2)2
5x3 x2 2.5x3.x2 10x5
En un caso como éste, queda una multiplicación de potencias de igual base (x3.x2), y por lo tanto, hay que sumar los exponentes.
EJEMPLO 11: (Uno que tenga "todo")
1/4 b6 + x4a2 - x2ab3 = (1/2 b3 - x2a)2
1/2 b3 -x2a 2. 1/2 b3.(-x2a) -x2ab3
Desordenado, con varias letras, con término negativo, con fracciones, con potencias distintas de dos... Un ejemplo con casi todas las complicaciones que puede haber.
AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel medio) x2 + 2  x + 3 = (x +  )2 x 
2.x. 2 x
El 3 no es cuadrado de ningún número entero. Pero... es cuadrado de
 . Porque que ()2 es igual a 3. Entonces el caso se puede aplicar dejando "expresados" los radicales.
EJEMPLO 13: (Con los cuadrados "negativos")
-x2 + 6x - 9 = - (x2 - 6x + 9) = - (x - 3)2
x (-3)
2.x.(-3)
-6x
Éste sería ya un "ejercicio combinado", porque primero hay que "sacar factor común" para que los "cuadrados" queden positivos. O sea que estaríamos aplicando dos casos de factoreo. El factor común que hay que sacar es -1. Aunque también podemos pensar simplemente así: "Le ponemos un menos adelante y cambiamos todos los signos de los términos".
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Conclusión: En este tema aprendí como sacar un trinomio perfecto como desarrollarlo, y como comprobar gracias a las explicaciones de la maestra y a este proyecto puedo estudiar mejor y puedo mejorar mis resultados en un ejercicio o en un examen, estoy feliz por que había aquellas dudas que hacían que un se confundiera en sus resultados pero gracias a este proyecto y a la maestra que se esforzó en dar las explicaciones este tema es mucho mas fácil de lo que era antes, les doy las gracias por su tiempo y la comprención dada muchas gracias.
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